Kalkulus dan Penerapannya di Bidang TI

Pengertian Kalkulus :

Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari perubahan. Dalam kalkulus mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak hingga. Kalkulus dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang sains, ekonomi, dan teknik. Beberapa masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer juga dapat dipecahkan menggunakan kalkulus.

Kalkulus dibagi menjadi dua, yaitu kalkulus deferensial dan kalkulus integral. Kalkulus deferensial dan kalkulus integral saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Kalkulus deferensial merupakan cabang kalkulus yang mempelajari perubahan nilai suatu fungsi yang dipengaruhi oleh perubahan input nilainya. Dalam kalkulus deferensial topik utamanya adalah turunan dari suatu fungsi. Proses untuk mencari turunan disebut dengan pendiferensialan. Turunan banyak digunakan dalam bidang kimia untuk menentukan laju reaksi. Turunan juga dapat digunakan untuk menbuat strategi dalam persaingan perusahaan. Kalkulus integral adalah cabang kalkulus yang digunakan untuk menghitung luas suatu daerah atau volume suatu benda.

Penerapan matematika kalkulus dalam dunia kerja :

Dalam dunia kerja matematika digunakan hampir di semua aspek mulai dari proses seleksi pegawai maupun dalam perhitungan dalam materi pekerjaan di perusahaan atau instansi tertentu misalnya pembukuan, penjumlah stock barang dan lain-lain. Secara spesifik penerapan matematika dalam bidang kerja tertentu dapat saya sampaikan sbb : 

• (Kalkulus) di Bidang Kedokteran , Matematika berperan dalam menghitung volume kanker. dan koordinat-koordinatnya dengan penerapan kalkulus (bisa integral cakram, cincin, lipat 2, bahakan lipat 3), karena umumnya sel kanker tidak mungkin bebentuk prisma, tabung, kerucut atau limas yang mudah sekali dihitung volumenya 
• (trigonometri) pada teknik sipil, seorang insinyur menggunakan trigonometri untuk perhitungan sudut-sudut yang super akurat, dengan sistem kurva yang benar-benar yang tak dijumpai kesalahan. 
• Aplikasi metematika (Peluang) pada ilmu Ekonomi dengan ilmu ini kita belajar menghitung peluang di berbagai kasus asuransi, 
• Aplikasi matematika (Program Linear) pada Ilmu Manajemen , Pendekatan yang dilakukan dengan pendekatan permodelan matematika, analisis stastistik, dan teori optimasi matematis. 

Di lingkungan rumah tangga pun penerapan matematika dapat ditemui misalnya menghitung jumlah pemasukan, jumlah biaya sehari-hari, menghitung bunga kredit KPR, program asuransi dll apalagi apabila dalam rumah tangga tersebut mempunyai usaha kecil maupun besar tentulah penerapan matematika akan banyak sekali di temui.

Salah satu contoh kalkulus dalam TI adalah x-ray , berikut penjelasannya :

Teori Dasar X-ray diffraction (XRD)

Proses analisis menggunakan X-ray diffraction (XRD) merupakan salah satu metoda karakterisasi material yang paling tua dan paling sering digunakan hingga sekarang. Teknik ini digunakan untuk mengidentifikasi fasa kristalin dalam material dengan cara menentukan parameter struktur kisi serta untuk mendapatkan ukuran partikel. Sinar X merupakan radiasi elektromagnetik yang memiliki energi tinggi sekitar 200 eV sampai 1 MeV. Sinar X dihasilkan oleh interaksi antara berkas elektron eksternal dengan elektron pada kulit atom. Spektrum sinar X memilki panjang gelombang 10-10 s/d 5-10 nm, berfrekuensi 1017-1020 Hz dan memiliki energi 103-106 eV. Panjang gelombang sinar X memiliki orde yang sama dengan jarak antar atom sehingga dapat digunakan sebagai sumber difraksi kristal. SinarX dihasilkan dari tumbukan elektron berkecepatan tinggi dengan logam sasaran. Olehk arena itu, suatu tabung sinar X harus mempunyai suatu sumber elektron, voltase tinggi, dan logam sasaran. Selanjutnya elektron elektron yang ditumbukan ini mengalami pengurangan kecepatan dengan cepat dan energinya diubah menjadi foton.

Sinar X ditemukan pertama kali oleh Wilhelm Conrad Rontgen pada tahun 1895, di Universitas Wurtzburg, Jerman. Karena asalnya tidak diketahui waktu itu maka disebut sinar X. Untuk penemuan ini Rontgen mendapat hadiah nobel pada tahun 1901, yang merupakan hadiah nobel pertama di bidang fisika. Sejak ditemukannya, sinar-X telah umum digunakan untuk tujuan pemeriksaan tidak merusak pada material maupun manusia. Disamping itu, sinar-X dapat juga digunakan untuk menghasilkan pola difraksi tertentu yang dapat digunakan dalam analisis kualitatif dan kuantitatif material. Pengujian dengan menggunakan sinar X disebut dengan pengujian XRD (X-Ray Diffraction).

XRD digunakan untuk analisis komposisi fasa atau senyawa pada material dan juga karakterisasi kristal. Prinsip dasar XRD adalah mendifraksi cahaya yang melalui celah kristal. Difraksi cahaya oleh kisi-kisi atau kristal ini dapat terjadi apabila difraksi tersebut berasal dari radius yang memiliki panjang gelombang yang setara dengan jarak antar atom, yaitu sekitar 1 Angstrom. Radiasi yang digunakan berupa radiasi sinar-X, elektron, dan neutron. Sinar-X merupakan foton dengan energi tinggi yang memiliki panjang gelombang berkisar antara 0.5 sampai 2.5 Angstrom. Ketika berkas sinar-X berinteraksi dengan suatu material, maka sebagian berkas akan diabsorbsi, ditransmisikan, dan sebagian lagi dihamburkan terdifraksi. Hamburan terdifraksi inilah yang dideteksi oleh XRD. Berkas sinar X yang dihamburkan tersebut ada yang saling menghilangkan karena fasanya berbeda dan ada juga yang saling menguatkan karena fasanya sama. Berkas sinar X yang saling menguatkan itulah yang disebut sebagai berkas difraksi. Hukum Bragg merumuskan tentang persyaratan yang harus dipenuhi agar berkas sinar X yang dihamburkan tersebut merupakan berkas difraksi. Ilustrasi difraksi sinar-X pada XRD dapat dilihat pada Gambar 1 dan Gambar 2.

Gambar 1 : Ilustrasi difraksi sinar-X pada XRD [1]

Gambar 2 : Ilustrasi difraksi sinar-X pada XRD [2]

Dari Gambar 2 dapat dideskripsikan sebagai berikut. Sinar datang yang menumbuk pada titik pada bidang pertama dan dihamburkan oleh atom P. Sinar datang yang kedua menumbuk bidang berikutnya dan dihamburkan oleh atom Q, sinar ini menempuh jarak SQ + QT bila dua sinar tersebut paralel dan satu fasa (saling menguatkan). Jarak tempuh ini merupakan kelipatan (n) panjang gelombang (λ), sehingga persamaan menjadi :

Persamaan diatas dikenal juga sebagai Bragg’s law, dimana, berdasarkan persamaan diatas, maka kita dapat mengetahui panjang gelombang sinar X (λ) dan sudut datang pada bidang kisi (θ), maka dengan ita kita akan dapat mengestimasi jarak antara dua bidang planar kristal (d001). Skema alat uji XRD dapat dilihat pada Gamnbar 3 dibawah ini.

Gambar 3: Skema alat uji XRD [3]

Dari metode difraksi kita dapat mengetahui secara langsung mengenai jarak rata-rata antar bidang atom. Kemudian kita juga dapat menentukan orientasi dari kristal tunggal. Secara langsung mendeteksi struktur kristal dari suatu material yang belum diketahui komposisinya. Kemudian secara tidak langsung mengukur ukuran, bentuk dan internal stres dari suatu kristal. Prinsip dari difraksi terjadi sebagai akibat dari pantulan elastis yang terjadi ketika sebuah sinar berinteraksi dengan sebuah target. Pantulan yang tidak terjadi kehilangan energi disebut pantulan elastis (elastic scatering). Ada dua karakteristik utama dari difraksi yaitu geometri dan intensitas. Geometri dari difraksi secara sederhana dijelaskan oleh Bragg’s Law (Lihat persamaan 2). Misalkan ada dua pantulan sinar α dan β. Secara matematis sinar β tertinggal dari sinar α sejauh SQ+QT yang sama dengan 2d sin θ secara geometris. Agar dua sinar ini dalam fasa yang sama maka jarak ini harus berupa kelipatan bilangan bulat dari panjang gelombang sinar λ. Maka didapatkanlah Hukum Bragg: 2d sin θ = nλ. Secara matematis, difraksi hanya terjadi ketika Hukum Bragg dipenuhi. Secara fisis jika kita mengetahui panjang gelombang dari sinar yang membentur kemudian kita bisa mengontrol sudut dari benturan maka kita bisa menentukan jarak antar atom (geometri dari latis). Persamaan ini adalah persamaan utama dalam difraksi. Secara praktis sebenarnya nilai n pada persamaan Bragg diatas nilainya 1. Sehingga cukup dengan persamaan 2d sin θ = λ . Dengan menghitung d dari rumus Bragg serta mengetahui nilai h, k, l dari masing-masing nilai d, dengan rumus-rumus yang telah ditentukan tiap-tiap bidang kristal kita bisa menentukan latis parameter (a, b dan c) sesuai dengan bentuk kristalnya.